Proposición 5

Enunciado

Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Son equivalentes:

1. $f$ es continua.

2. Para todo subconjunto cerrado $C$ de $Y$, el conjunto $f^{-1}(C)$ es cerrado en $X$.

3. Para todo $A\subset X$, $f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$.

4. Para todo $B\subset Y$, $f^{-1}(\mathrm{int}B)\subset \mathrm{int}(f^{-1}(B))$.

5. Para una base $\mathcal{B}$ de $Y$, $f^{-1}(B)$ es abierto para todo $B\in \mathcal{B}$.

6. Para una subbase $\mathcal{S}$ de $Y$, $f^{-1}(S)$ es abierto para todo $S\in \mathcal{S}$.